C++ STL源码剖析之红黑树

0.导语

在STL源码中有两段话,简单翻译后如下:

STL中Red-black tree(红黑树)class,用来当做SLT关系式容器(如set,multiset,map, multimap).里面所用的insertion和deletion方法以 《Introduction to Algorithms》一书为基础,但是有以下两点不同:

(1)header不仅指向root,也指向红黑树的最左节点,以便用常数时间实现begin(),并且也指向红黑树的最右边节点,以便 set相关泛型算法(如set_union等等)可以有线性时间表现.

(2)当要删除的节点有两个子节点时,其后继节点连接到其位置,而不是被复制,因此,唯一使无效的迭代器是引用已删除节点的迭代器。

上述话翻译成图,如下,相比于普通的红黑树多了一个header节点,并且为红色。普通的红黑树是以100节点开始的,且满足下面五条性质: - 每个节点或是红色的,或是黑色的. - 根节点是黑色的. - 每个叶节点(NULL)是黑色的. - 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子节点都是黑色的. - 对每个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点.

当然这里的rb_tree也是一样满足这几条性质,迭代器的begin指向红黑树根节点,也就是header的父亲,而end指向header节点。

st.png。 图中省略号表示节点没有画完,还有其他节点,所以省略。

1.红黑树节点基类

红黑树基类,非常简单,在文件开头定义了颜色标记。

基类中包含了指向自己的指针,分别定义了left、right、parent,同时包含了一个颜色标记常量,而里面有两个核心函数,目的是获取红黑树中最小节点与最大节点。 我们知道对于二分搜索树获取最小节点就是左子树一直往下搜,最大节点就是右子树一直往下搜即可。

// 颜色标记
enum _Rb_tree_color { _S_red = false, _S_black = true };

// 基类
struct _Rb_tree_node_base
{
// typedef重命名
typedef _Rb_tree_node_base* _Base_ptr;

// 颜色
_Rb_tree_color  _M_color;
// 指向父亲
_Base_ptr       _M_parent;
// 指向左孩子
_Base_ptr       _M_left;
// 指向右孩子
_Base_ptr       _M_right;

// 求红黑树的最小节点
static _Base_ptr
_S_minimum(_Base_ptr __x) _GLIBCXX_NOEXCEPT
{
    while (__x->_M_left != 0) __x = __x->_M_left;
    return __x;
}

// 求红黑树最大节点
static _Base_ptr
_S_maximum(_Base_ptr __x) _GLIBCXX_NOEXCEPT
{
    while (__x->_M_right != 0) __x = __x->_M_right;
    return __x;
}

};

2.红黑树节点

红黑树节点继承自红黑树基类。

template<typename _Val>
struct _Rb_tree_node : public _Rb_tree_node_base
{
    typedef _Rb_tree_node<_Value>* _Link_type;//节点指针,指向数据节点
    _Value _M_value_field;//节点数据域,即关键字
};

3.红黑树迭代器

红黑树迭代器里面有一个红黑树基类成员,然后通过该成员进行迭代器的相关操作。 同时,我们可以知道该迭代器属于bidirectional_iterator_tag

里面也包含了萃取机相关需要的typedef。

template<typename _Tp>
struct _Rb_tree_iterator
{
    typedef _Tp  value_type;
    typedef _Tp& reference;
    typedef _Tp* pointer;

    typedef bidirectional_iterator_tag iterator_category;
    typedef ptrdiff_t                  difference_type;

    typedef _Rb_tree_iterator<_Tp>        _Self;
    typedef _Rb_tree_node_base::_Base_ptr _Base_ptr;
    typedef _Rb_tree_node<_Tp>*           _Link_type;

    _Base_ptr _M_node;
};   

获取数据

reference
operator*() const _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return *static_cast<_Link_type>(_M_node)->_M_valptr(); }

pointer
operator->() const _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return static_cast<_Link_type> (_M_node)->_M_valptr(); }

重载++操作符

_Self&
operator++() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{
    _M_node = _Rb_tree_increment(_M_node);
    return *this;
}

_Rb_tree_increment底层是local_Rb_tree_increment,如下实现:

static _Rb_tree_node_base *
local_Rb_tree_increment( _Rb_tree_node_base* __x ) throw ()
{
    if ( __x->_M_right != 0 )       /* 存在右子树,那么下一个节点为右子树的最小节点 */
    {
        __x = __x->_M_right;
        while ( __x->_M_left != 0 )
            __x = __x->_M_left;
    }else  {                        
        /* 不存在右子树,那么分为两种情况:自底往上搜索,当前节点为父节点的左孩子的时候,父节点就是后继节点; */
/* 第二种情况:_x为header节点了,那么_x就是最后的后继节点. 简言之_x为最小节点且往上回溯,一直为父节点的右孩子,直到_x变为父节点,_y为其右孩子 */
        _Rb_tree_node_base *__y = __x->_M_parent;
        while ( __x == __y->_M_right )
        {
            __x = __y;
            __y = __y->_M_parent;
        }
        if ( __x->_M_right != __y )
            __x = __y;
    }
    return (__x);
}

重载--操作符:

_Self&
operator--() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{
    _M_node = _Rb_tree_decrement(_M_node);
    return *this;
}

同理,而_Rb_tree_decrement底层是local_Rb_tree_decrement,如下实现:

static _Rb_tree_node_base *
local_Rb_tree_decrement( _Rb_tree_node_base * __x )
throw ()
{
/* header节点 */
    if ( __x->_M_color ==
         _S_red
         && __x
         ->_M_parent->_M_parent == __x )
        __x = __x->_M_right;
    else if ( __x->_M_left != 0 ) /* 左节点不为空,返回左子树中最大的节点 */
    {
        _Rb_tree_node_base *__y = __x->_M_left;
        while ( __y->_M_right != 0 )
            __y = __y->_M_right;
        __x = __y;
    }else  {
/* 自底向上找到当前节点为其父节点的右孩子,那么父节点就是前驱节点 */
        _Rb_tree_node_base *__y = __x->_M_parent;
        while ( __x == __y->_M_left )
        {
            __x = __y;
            __y = __y->_M_parent;
        }
        __x = __y;
    }
    return
        (__x);
}

重载==与!=操作符,直接判断节点指针是否相等。

bool
operator==(const _Self& __x) const _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return _M_node == __x._M_node; }

bool
operator!=(const _Self& __x) const _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return _M_node != __x._M_node; }

其他重要函数,黑节点统计:

unsigned int
_Rb_tree_black_count(const _Rb_tree_node_base *__node,
                     const _Rb_tree_node_base *__root) throw() {
    if (__node == 0)
        return 0;
    unsigned int __sum = 0;
    do {
        if (__node->_M_color == _S_black)
            ++__sum;
        if (__node == __root)
            break;
        __node = __node->_M_parent;
    } while (1);
    return __sum;
}

后面来阐述最重要的插入操作。

4.红黑树操作

比较重要的是,里面使用节点基类来声明了一个指针。还包含了一个_Rb_tree_impl用来对红黑树初始化操作与内存管理操作。里面还包含了两种迭代器,一个rbtree,另一个是reverse,说明支持rbegin,rend操作。

template<typename _Key, typename _Val, typename _KeyOfValue,
           typename _Compare, typename _Alloc = allocator<_Val> >
class _Rb_tree
{

protected:
    typedef _Rb_tree_node_base*         _Base_ptr;

 template<typename _Key_compare, 
    bool _Is_pod_comparator = __is_pod(_Key_compare)>
    struct _Rb_tree_impl : public _Node_allocator
    {
      _Key_compare      _M_key_compare;
      _Rb_tree_node_base    _M_header;
      size_type         _M_node_count; // Keeps track of size of tree.

      _Rb_tree_impl()
      : _Node_allocator(), _M_key_compare(), _M_header(),
        _M_node_count(0)
      { _M_initialize(); }

      _Rb_tree_impl(const _Key_compare& __comp, const _Node_allocator& __a)
      : _Node_allocator(__a), _M_key_compare(__comp), _M_header(),
        _M_node_count(0)
      { _M_initialize(); }

    private:
      void
      _M_initialize()
      {
        this->_M_header._M_color = _S_red;
        this->_M_header._M_parent = 0;
        this->_M_header._M_left = &this->_M_header;
        this->_M_header._M_right = &this->_M_header;
      }  

    };
public: 
    typedef _Rb_tree_iterator<value_type>       iterator;
    typedef std::reverse_iterator<iterator>     reverse_iterator; 
private:
_Rb_tree_impl<_Compare> _M_impl;
};

获取红黑树根节点、最左与最右节点

回到一开始的图: rbt.png

// 图中100 节点
 _Base_ptr&
_M_root() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return this->_M_impl._M_header._M_parent; }

// 图中most left标记
_Base_ptr&
_M_leftmost() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return this->_M_impl._M_header._M_left; }


// 图中most right标记
 _Base_ptr&
_M_rightmost() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return this->_M_impl._M_header._M_right; }
 _Link_type

 // 图中begin()标记
_M_begin() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return static_cast<_Link_type>(this->_M_impl._M_header._M_parent); }

// 图中end()标记
_Link_type
_M_end() _GLIBCXX_NOEXCEPT
{ return reinterpret_cast<_Link_type>(&this->_M_impl._M_header); }

我们再看代码是不是非常清晰!

5.红黑树插入

5.1 旋转过程

左旋转是将该节点的右节点设置为它的父节点,该节点将变成刚才右节点的左孩子

直接看源码中的图与代码对比即可。

tree.cc源码中实现函数为local_Rb_tree_rotate_leftlocal_Rb_tree_rotate_right。 下面我们将源码进行剖析成比较容易理解的代码,具体见注释。 大家会发现函数名与变量名与源码不同,是因为下面是当时自己实现的,但是不影响源码阅读,就直接拿来对比了。

/**
* 当前节点的左旋转过程
* 将该节点的右节点设置为它的父节点,该节点将变成刚才右节点的左孩子
* @param _x
*/
//    _x                      _y
//  /   \     左旋转         /  \
// T1   _y   --------->   _x    T3
//     / \              /   \
//    T2 T3            T1   T2
void leftRotate(Node *_x) {
    // step1 处理_x的右孩子
    // 右节点变为_x节点的父亲节点,先保存一下右节点
    Node *_y = _x->right;
    // T2变为node的右节点
    _x->right = _y->left;
    if (NULL != _y->left)
        _y->left->parent = _x;

    // step2 处理_y与父亲节点关系
    _y->parent = _x->parent;      // 原来_x的父亲变为_y的父亲
    // 说明原来_x为root节点,此时需要将_y设为新root节点
    // 或者判断NULL == _y->parent
    if (_x == root)
        root = _y;
    else if (_x == _x->parent->left)    // 原_x的父节点的左孩子连接新节点_y
        _x->parent->left = _y;
    else // 原_x的父节点的右孩子连接新节点_y
        _x->parent->right = _y;

    // step3 处理_x与_y关系
    _y->left = _x;      // _y的左孩子为_x
    _x->parent = _y;    // _x的父亲是_y
}

同理,右旋转如下:

//        _x                      _y
//      /   \     右旋转         /  \
//     _y    T2 ------------->  T0  _x
//    /  \                         /  \
//   T0  T1                       T1  T2
void rightRotate(Node *_x) {
    // step1 处理_x的左孩子
    // 左节点变为_x节点的父亲节点,先保存一下左节点
    Node *_y = _x->left;
    // T1变为_x的左孩子
    _x->left = _y->right;
    if (NULL != _y->right)
        _y->right->parent = _x;

    // step2 处理_y与父节点之间的关系
    // 或者判断_x->parent==NULL
    if (_x == root)
        root = _y;
    else if (_x == _x->parent->right)
        _x->parent->right = _y;
    else
        _x->parent->left = _y;

    // step3 处理_x与_y关系
    _y->right = _x;     // _y的右孩子为_x
    _x->parent = _y;    // _x的父亲是_y
}

case 1.1: 父节点为红色且其叔叔节点也为红色,则将父亲、叔叔置为黑色,祖父置为红色。

rb_1.png

case 1.2 若无叔叔节点或者其叔叔节点为黑色分为下面两种:

情况1.2.1:x的叔叔节点y是黑色且x是一个右孩子

rb1.2.1.png

情况1.2.2:x的叔叔节点y是黑色且x是一个左孩子

rb1.2.2.png

对应源代码中:

_Rb_tree_node_base *const __y = __xpp->_M_right;    // 得到叔叔节点
if (__y && __y->_M_color == _S_red)     // case1: 叔叔节点存在,且为红色
{
    /**
        * 解决办法是:颜色翻转,父亲与叔叔的颜色都变为黑色,祖父节点变为红色,然后当前节点设为祖父,依次网上来判断是否破坏了红黑树性质
        */
    __x->_M_parent->_M_color = _S_black;    // 将其父节点改为黑色
    __y->_M_color = _S_black;               // 将其叔叔节点改为黑色
    __xpp->_M_color = _S_red;               // 将其祖父节点改为红色
    __x = __xpp;                            // 修改_x,往上回溯
} else {        // 无叔叔或者叔叔为黑色
    if (__x == __x->_M_parent->_M_right) {          // 当前节点为父亲节点的右孩子
        __x = __x->_M_parent;
        local_Rb_tree_rotate_left(__x, __root);     // 以父节点进行左旋转
    }
    // 旋转之后,节点x变成其父节点的左孩子
    __x->_M_parent->_M_color = _S_black;            // 将其父亲节点改为黑色
    __xpp->_M_color = _S_red;                       // 将其祖父节点改为红色
    local_Rb_tree_rotate_right(__xpp, __root);      // 以祖父节点右旋转
}

另外一个是上述对称过程:

case 2.1: 父节点为红色且其叔叔节点也为红色,则将父亲、叔叔置为黑色,祖父置为红色。

rb2.1.png

case 2.2 若无叔叔节点或者其叔叔节点为黑色

rb2.2.1.png

情况2.2.1:x的叔叔节点y是黑色且x是一个左孩子

rb2.2.2.png

_Rb_tree_node_base *const __y = __xpp->_M_left; // 保存叔叔节点
if (__y && __y->_M_color == _S_red) {       // 叔叔节点存在且为红色
    __x->_M_parent->_M_color = _S_black;    // 父亲节点改为黑色
    __y->_M_color = _S_black;               // 祖父节点改为红色
    __xpp->_M_color = _S_red;
    __x = __xpp;
} else {        // 若无叔叔节点或者其叔叔节点为黑色
    if (__x == __x->_M_parent->_M_left) {   // 当前节点为父亲节点的左孩子
        __x = __x->_M_parent;
        local_Rb_tree_rotate_right(__x, __root);    // 以父节点右旋转
    }
    __x->_M_parent->_M_color = _S_black;        // 父节点置为黑色
    __xpp->_M_color = _S_red;                   // 祖父节点置为红色
    local_Rb_tree_rotate_left(__xpp, __root);   // 左旋转
}

_Rb_tree_insert_and_rebalance完整解析:

void
_Rb_tree_insert_and_rebalance(const bool __insert_left,
                              _Rb_tree_node_base *__x,
                              _Rb_tree_node_base *__p,
                              _Rb_tree_node_base &__header) throw() {
    _Rb_tree_node_base * &__root = __header._M_parent;

    // Initialize fields in new node to insert.
    __x->_M_parent = __p;
    __x->_M_left = 0;
    __x->_M_right = 0;
    __x->_M_color = _S_red;

    // 处理__header部分
    // Insert.
    // Make new node child of parent and maintain root, leftmost and
    // rightmost nodes.
    // N.B. First node is always inserted left.
    if (__insert_left) {
        __p->_M_left = __x; // also makes leftmost = __x when __p == &__header

        if (__p == &__header) {
            __header._M_parent = __x;
            __header._M_right = __x;
        } else if (__p == __header._M_left)
            __header._M_left = __x; // maintain leftmost pointing to min node
    } else {
        __p->_M_right = __x;

        if (__p == __header._M_right)
            __header._M_right = __x; // maintain rightmost pointing to max node
    }

 // Rebalance.
    while (__x != __root
           && __x->_M_parent->_M_color == _S_red)   // 若新插入节点不是为RB-Tree的根节点,且其父节点color属性也是红色,即违反了性质4.
    {
        _Rb_tree_node_base *const __xpp = __x->_M_parent->_M_parent;        // 祖父节点

        if (__x->_M_parent == __xpp->_M_left)   // 父亲是祖父节点的左孩子
        {
            _Rb_tree_node_base *const __y = __xpp->_M_right;    // 得到叔叔节点
            if (__y && __y->_M_color == _S_red)     // case1: 叔叔节点存在,且为红色
            {
                /**
                 * 解决办法是:颜色翻转,父亲与叔叔的颜色都变为黑色,祖父节点变为红色,然后当前节点设为祖父,依次网上来判断是否破坏了红黑树性质
                 */
                __x->_M_parent->_M_color = _S_black;    // 将其父节点改为黑色
                __y->_M_color = _S_black;               // 将其叔叔节点改为黑色
                __xpp->_M_color = _S_red;               // 将其祖父节点改为红色
                __x = __xpp;                            // 修改_x,往上回溯
            } else {        // 无叔叔或者叔叔为黑色
                if (__x == __x->_M_parent->_M_right) {          // 当前节点为父亲节点的右孩子
                    __x = __x->_M_parent;
                    local_Rb_tree_rotate_left(__x, __root);     // 以父节点进行左旋转
                }
                // 旋转之后,节点x变成其父节点的左孩子
                __x->_M_parent->_M_color = _S_black;            // 将其父亲节点改为黑色
                __xpp->_M_color = _S_red;                       // 将其祖父节点改为红色
                local_Rb_tree_rotate_right(__xpp, __root);      // 以祖父节点右旋转
            }
        } else {        // 父亲是祖父节点的右孩子
            _Rb_tree_node_base *const __y = __xpp->_M_left; // 保存叔叔节点
            if (__y && __y->_M_color == _S_red) {       // 叔叔节点存在且为红色
                __x->_M_parent->_M_color = _S_black;    // 父亲节点改为黑色
                __y->_M_color = _S_black;               // 祖父节点改为红色
                __xpp->_M_color = _S_red;
                __x = __xpp;
            } else {        // 若无叔叔节点或者其叔叔节点为黑色
                if (__x == __x->_M_parent->_M_left) {   // 当前节点为父亲节点的左孩子
                    __x = __x->_M_parent;
                    local_Rb_tree_rotate_right(__x, __root);    // 以父节点右旋转
                }
                __x->_M_parent->_M_color = _S_black;        // 父节点置为黑色
                __xpp->_M_color = _S_red;                   // 祖父节点置为红色
                local_Rb_tree_rotate_left(__xpp, __root);   // 左旋转
            }
        }
    }
    //若新插入节点为根节点,则违反性质2
    //只需将其重新赋值为黑色即可
    __root->_M_color = _S_black;
}

5.2插入总结

根据上述插入过程与源码分析,我们得出下面三种: 假设P代码父亲节点,N代表当前新插入节点,U代表叔叔节点,G代表祖父节点。

case 1:U为红色,P、N也都为红色,则可以通过改变颜色,自底向上递归调整,下次N就变味G,往上判断即可。如果碰巧将根节点染成了红色, 可以在算法的最后强制root改为黑。

1_1.png

case 2:U为黑色,考虑N是P的左孩子还是右孩子。

case2.1 如果是右孩子,先进行左旋转,再进入下一种情况。

2_1.png

case2.2 可能是上述情况变化而来,但不一定是!策略为:右旋转,改变颜色。

rb2_2.png

经过上述源码的分析得知,红黑树插入为镜像变换,另一种情况刚好相反。

删除操作,比较复杂,这里就暂时没分析了,后面补上。。。

6.使用

前面说了那么多,如何使用呢?

引入头文件:

#include<map>或者<set>

类定义:

_Rb_tree<int, int, _Identity<int>, less<int>> itree;

然后调用相应函数即可。